Question

20．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的一点，连接BF、FE，DE=CE，且∠BFE=∠FBC
（1）直接写出∠DEF+∠DFE的值90°；
（2）求：$\frac{AF}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质，∠D=90°，即△DEF为直角三角形，所以∠DEF+∠DFE=90°；
（2）延长BC，FE交于点P，构造等腰三角形PEB，利用正方形的性质和中点的性质求得PB的长后，由勾股定理求得a的值．则可求出AB，AF的值．

解答 （1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=90°，即△DEF为直角三角形，
∴∠DEF+∠DFE=90°，
故答案为：90°；
（2）如图，延长BC，FE交于点P，

∵正方形ABCD，
∴AD∥BC．
∴△DEF∽△CEP．
∵E为CD的中点，
∴$\frac{EF}{EP}=\frac{DE}{CE}$=1，PF=2EF．
∵∠BFE=∠FBC，
∴PB=PF．
设AF=a，
∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，
EF=$\frac{PF}{2}=\frac{8-a}{2}$．AB=（8-a）-（4-a）=4，
∵Rt△DEF中，EF²=DE²+DF²，
∴$（\frac{8-a}{2}）^{2}$=2²+（4-a）²整理，得3a²-16a+16=0，
解得，a₁=$\frac{4}{3}$，a₂=4；
∵F点不与D点重合，
∴a=4不成立，a=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AF}{AB}=\frac{\frac{4}{3}}{4}=\frac{1}{3}$．

点评 本题利用了正方形的性质，中点的性质，等腰三角形的性质，勾股定理求解，解决本题的关键是作出辅助线．