Question

【题目】阅读下列材料，解决所提的问题：

勾股定理a+b=c本身就是一个关于a，b，c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组（3，4，5）．类似地，还可以得到下列勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），…等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组．

上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示：

观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点：

特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和；

特点2：____________________________________．

…

学习任务：

（1）请你再写出上述勾股数组的一个特点：________________；

（2）如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（n，______，______）

（3）请你证明（2）的结论．

Answer 1

【答案】（1）最小的勾股数与比它大1的整数的乘积等于各个勾股数的和；（2），；（3）见解析．

【解析】

（1）由3×4=3+4+5，5×6=5+12+13，7×8=7+24+25，……可得最小的勾股数与比它大1的整数的乘积等于各个勾股数的和，即可得答案；

（2）由，；，=13；，……可得勾数为大于1的奇数时，股数等于勾数的平方减1的一半，弦数等于勾数的平方加1的一半，即可得答案；

（3）根据整式的运算得出n2+()2=()2即可．

（1）3×4=3+4+5，

5×6=5+12+13，

7×8=7+24+25，

……

∴最小的勾股数与比它大1的整数的乘积等于各个勾股数的和．

故答案为：最小的勾股数与比它大1的整数的乘积等于各个勾股数的和

（2）

，，

，=13，

，，

……

∴股数等于勾数的平方减1的一半，弦数等于勾数的平方加1的一半，

∴勾数为大于1的奇数时，股数等于勾数的平方减1的一半，弦数等于勾数的平方加1的一半，

∴n为比1大的奇数时，上述勾股数组可以表示为（n，，）

故答案为：，

（3）∵

=

=

=．

∴（，，）是勾股数组．