【题目】如图,正方形ABCD中,点P在BC边上,连接AP,将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE,过点E作EF⊥BC,分别交直线BC,AC于点F,G.
(1)依题意补全图形;
(2)求证:BP=EF;
(3)连接PG,CE,用等式表示线段PG,CE,CD之间的数量关系,并证明.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)结论:PG2=CD2+CE2,理由见解析
【解析】
(1)根据要求画出图形即可.
(2)证明△ABP≌△PFE(AAS),即可解决问题.
(3)证明PF为线段EG的垂直平分线,可得PE=PG,再利用勾股定理即可解决问题.
解:(1)补全的图形如图所示;
(2)证明:如图,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∵线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE,
∴PA=PE,∠APE=90°,
∴∠2+∠3=90°,
∴∠1=∠3,
∵EF⊥BC于F,
∴∠EFP=90°=∠B,
在△ABP和△PFE中,
∵∠B=∠EFP,∠1=∠3,PA=PE,
∴△ABP≌△PFE(AAS),
∴BP=EF.
(3)结论:PG2=CD2+CE2.
理由:如图,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD.
∵△ABP≌△PFE,
∴AB=PF,
∴BC=PF=CD,
∴BC-PC=PF-PC,即BP=CF.
又∵BP=EF,
∴EF=CF,
∴△CEF是等腰直角三角形,EF=CE.
∵∠FCG=∠ACB=∠DCB=45°,
∴CF=FG=EF,
∴PF为线段EG的垂直平分线,
∴PE=PG.
在Rt△PFE中,有PE2=PF2+EF2,
∴PG2=CD2+CE2.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B、O分别落在点B1、C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△AB1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去……,若点A(,0),B(0,2).则点B2019的坐标是( )
A.(6052,0)B.(6054,2)C.(6058,0)D.(6060,2)
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【题目】某大学生创业团队抓住商机,购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售,每袋成本3元.试销期间发现每天的销售量y(袋)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,部分数据如表所示,其中3.5≤x≤5.5,另外每天还需支付其他费用80元.
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式;
(2)如果每天获得160元的利润,销售单价为多少元?
(3)设每天的利润为w元,当销售单价定为多少元时,每天的利润最大?最大利润是多少元?
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【题目】数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样一个问题:如图1,在中,,,D是BC的中点,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD到E,使,请补充完整证明“≌”的推理过程.
求证:≌
证明:延长AD到点E,使
在和中已作,
______,
中点定义,
≌______,
探究得出AD的取值范围是______;
(感悟)解题时,条件中若出现“中点”“中线”等字样,可以考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
(问题解决)
如图2,中,,,AD是的中线,,,且,求AE的长.
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【题目】从某幢建筑物10m高的窗口A处用水管向外喷水,喷出的水成抛物线状(抛物线所在平面与地面垂直).抛物线的最高点M离墙1m,离地面m.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求抛物线的解析式.
(2)求水的落地点B与点O的距离.
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【题目】感知:如图①,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,点P在BC边上,当∠APD=90°时,可知△ABP∽△PCD.(不要求证明)
探究:如图②,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当∠B=∠C=∠APD时,求证:△ABP∽△PCD.
拓展:如图③,在△ABC中,点P是边BC的中点,点D、E分别在边AB、AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=6,CE=4,则DE的长为 .
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【题目】某中学开通了互联网家校合育教育平台,为了解家长使用平台的情况,学校将家长的使用情况分为“经常使用”、“偶尔使用”和‘不使用’三种类型,借助该平台大数据功能,汇总出该校吧(1)班和八(2)班全体家长的使用情况,并绘制成如图所示的两幅变质的统计图:
请根据图中信息解答下列问题
(1)此次调查的家长总人数是___________;
(2)扇形统计图中代表“不使用”类型的扇形圆心角的度数是___________度;算出八(2)班全体家长“经常使用”平台的人数并补全条形统计图;
(3)若该校八年级家长共有1200人,根据此次调查结果估计该校八年级中“经常使用”类型的家长月有多少人?
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,弦AC=2,∠ABC=30°,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求:
(1)BC、AD的长;
(2)图中两阴影部分面积的和.
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