Question

【题目】M（﹣1，），N（1，）是平面直角坐标系xOy中的两点，若平面内直线MN上方的点P满足：45°≤∠MPN≤90°，则称点P为线段MN的可视点．

（1）在点，，，A4（2，2）中，线段MN的可视点为　 　；

（2）若点B是直线y＝x上线段MN的可视点，求点B的横坐标t的取值范围；

（3）直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，直接写出b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）A1，A3；（2）点B的横坐标t的取值范围是0≤t≤1；（3）或．

【解析】

（1）根据“直径所对的圆周角是直角”可知线段MN的可视点在以MN为直径的圆的外部或圆上，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可知线段MN的可视点在以E为圆心，EM长为半径的⊙E的内部或⊙E上，根据坐标可以判断哪些点符合要求．

（2）点B既要在直线y＝x＋上，又要⊙E的内部或圆上，且在⊙G的外部或圆上，故应该在直线y＝x＋与⊙G、⊙E的交点E、F为端点的线段上，求出E、F的横坐标即可．

（3）分b＜0，b＞0两种情况进行讨论．

解：（1）如图1，以MN为直径的半圆交y轴于点E，以E为圆心，EM长为半径的⊙E交y轴于点F，

∵MN是⊙G的直径，

∴∠MA1N＝90°，

∵M（﹣1，），N（1，）

∴MN⊥EG，EG＝1，MN＝2

∴EM＝EF，

∴∠MFN∠MEN＝45°，

∵45°≤∠MPN≤90°，

∴点P应落在⊙E内部，且落在⊙G外部

∴线段MN的可视点为A1，A3；

故答案为A1，A3；

（2）如图，以（0，）为圆心，1为半径作圆，以（0，）为圆心，为半径作圆，两圆在直线MN上方的部分与直线分别交于点E，F．

过点F作FH⊥x轴，过点E作EH⊥FH于点H，

∵FH⊥x轴，

∴FH∥y轴，

∴∠EFH＝∠MEG＝45°，

∵∠EHF＝90°，EF，

∴EH＝FH＝1，

∴E（0，），F（1，）．

只有当点B在线段EF上时，满足45°≤∠MBN≤90°，点B是线段MN的可视点．

∴点B的横坐标t的取值范围是0≤t≤1．

（3）如图，⊙G与x轴交于H，与y轴交于E，连接GH，OG，GH＝1，

∴OH，

∴H（，0）．E（0，）

当直线y＝x+b（b≠0）与x轴交于点C，与y轴交于点D，若线段CD上存在线段MN的可视点，

①直线y＝x+b与y轴交点在y负半轴上

将H（，0）代入y＝x+b得b＝0，解得b1，

将N（1，）代入y＝x+b得1+b，解得b2

∴b

②直线y＝x+b与y轴交点在y正半轴上

将 E（0，）代入得b，

当直线y＝x+b与⊙E相切于T时交y轴于Q，连接ET，则ET⊥TQ，

∵∠EQT＝45°，

∴TQ＝ET＝EM，

∴EQ2

∴OQ＝OE+EQ2

∴

综上所述：或．