Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=45°，∠B=60°，BC为+1，点P为边AB上一动点，过点P作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

当CP⊥AB时，线段DE的值最小，利用四点共圆的判定可得：C、D、P、E四点共圆，且直径为CP，由∠B=60°，BC为+1，求出PC，从而得出半径OD的长度，然后由∠ACB=45°，得到∠EOD=90°，利用等腰直角三角形的性质，可求出DE的值．

解：当CP⊥AB时，线段DE的值最小（因为四边形C、D、P、E四点共圆，PC是直径，BC=和∠B=60°是定值，所以直径CP最小时，∠DCE所对的弦DE最小）；如图：

∵PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，

∴∠CDP=∠AEP=90°，

∴∠CDP+∠AEP=180°，

∴C、D、P、E四点共圆，且直径为CP，

∵∠B=60°，CP⊥AB，BC=，

∴，即，

∴,

∴，

∵∠ACB=45°，

∴∠EOD=90°，

∴△OED是等腰直角三角形，

∴；

∴DE的最小值为：.

故答案为：.