Question

【题目】定义：我们把关于某一点成中心对称的两条抛物线叫“孪生抛物线”；（1）已知抛物线L：y＝﹣x2+4与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，求L关于坐标原点O（0，0）的“孪生抛物线”W；（2）点N为坐标平面内一点，且△BCN是以BC为斜边的等腰直角三角形，在x轴是否存在一点M（m，0），使抛物线L关于点M的“孪生抛物线”过点N，如果存在，求出M点坐标；不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4；（2）存在，（，0），（，0），（，0），（，0）

【解析】

（1）根据题意画出L的图象，由W与L是“孪生抛物线”关于原点O（0，0）中心对称，则以判断W与y轴交于点（0，﹣4）且开口向上，且对称轴不变，画出W图象直接写出解析式即可；

（2）根据题意作BC的中垂线，在中垂线上找到点N，使得NB⊥NC且，NB＝NC．发现这样的点N在BC的中垂线上有两个，需分情况讨论，当N在BC左侧时，设点N的坐标为（n，t），抛物线L的孪生抛物线解析式为y＝（x±2m）2﹣4然后利用数形结合的思想求解即可．

解：（1）∵抛物线L与抛物线W关于原点O（0，0）成中心对称

∴W与L开口方向相反，对称轴不变，与x轴交于点（﹣2，0）和点（2，0），与y轴交于点（0，﹣4）

依题意画图象

∴抛物线W的解析式为，y＝x2﹣4

（2）存在．

当N在BC左侧时如图2﹣1及图2﹣2

∵△BCN是以BC为斜边的等腰直角三角形

∴在BC上取其中点E并过E作线段EN⊥BC，且截取EN＝BC

∵设L关于M（m，0）的“孪生抛物线”解析式为y＝（x﹣2m）2﹣4，N（n，t）．

则t＝（n﹣2m）2﹣4．

过N作线段FG⊥x轴于点G，连接CF∥x轴．

由△BCN是以BC为斜边的等腰直角三角形得BN＝CN，

又∵∠FNC+∠CNB+∠BNG＝180°，∠CNB＝90°

∴∠FNC+∠BNG＝90°

又∵∠FNV+∠NCF＝90°

∴∠NCF＝∠BNG

∴在△FNC与△GBN中

∴△FNC≌△GBN（AAS）

∴FN＝BG＝2﹣n

又∵FN＝4﹣t＝4﹣[（n﹣2m）2﹣4]．＝8﹣（n﹣2m）2

∴2﹣n＝8﹣（n﹣2m）2

又∵GO＝FC＝NG

∴t＝﹣n，即（n﹣2m）2﹣4＝﹣n．

∴（n﹣2m）2＝4﹣n

∴8﹣（n﹣2m）2＝8﹣（4﹣n）＝4+n

∴2﹣n＝4+n

解得，n＝﹣1

把n＝﹣1代入（n﹣2m）2＝4﹣n中得，（﹣1﹣2m）2＝4﹣（﹣1）

解得，m＝

故此时M点坐标可以为，（，0），（，0）

当N在BC右侧时如图3﹣1及3﹣2

设L关于M（m，0）的“孪生抛物线”解析式为y＝（x﹣2m）2﹣4，N（n，t）．

同理易证△CNF≌△NBG（AAS）

∴FN＝BG

即4﹣t＝2﹣n

解得，t＝6﹣n

∴N（n，6﹣n）

又∵△BCN为等腰直角三角形

∴BN＝BC＝

又∵在Rt△NBG中，BG2+NG2＝BN2

∴（n﹣2）2+（6﹣n）2＝10

整理得，n2﹣8n+15＝0

解得，n＝3或n＝5

∴N（3，3）或N（5，1）

当N点坐标为（5，1）时，△BNC不是等腰直角三角形，这与题目已知条件相矛盾，

故N点坐标只能取（3，3）．

又∵N在L的“孪生抛物线”上，

则把N（3，3）代入y＝（x﹣2m）2﹣4中得，

3＝（3﹣2m）2﹣4

解得，m＝或m＝

故此时M点的坐标为（，0）或（，0）．

综上所述，满足题意的M点的坐标可以为（，0），（，0），（，0），（，0）．