Question

【题目】如图1，内接于，点为中点，点在上，连接点是的中点，连结．

（1）求证：；

（2）如图2，若平分与交于点延长，与的延长线交于点求证：；

（3）在（2）的条件下，若，求的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）面积为.

【解析】

（1）先根据圆周角定理的推论得出点O与M重合，然后利用等腰三角形的性质得出，即；

（2）首先证明，即可得出；

（3）首先利用三角形的中位线的性质得出，然后根据角平分线的定义得出进而有，然后证明，则有，然后通过证明得出，则，然后设， 在中，利用勾股定理求出x的值，从而可求出AB的长度，则圆的半径可求，最后利用圆的面积公式即可求解．

证明:如图1中，连接，

，点为中点，

是的直径，点与重合．

∵点是的中点，

．

，

，

即；

证明:如图2，

∵AB是直径，

，

．

在和中，

，

；

解:过点作于，

是的直径，

，

．

∵，

，

，

∴．

又∵AD平分，

，

，

．

，

，

，

．

在和中，

，

，

，

．

设，则，

．

在中，

，

，

，

解得或(舍去)，

，

，

面积．