Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交与点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；
（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x=1．

∴A（﹣2，0），

把点A（﹣2，0）、B（4，0）、点C（0，3），分别代入y=ax2+bx+c（a≠0），得

，解得 ，

所以该抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x+3

（2）

解：设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．

∴MB=6﹣3t．

由题意得，点C的坐标为（0，3）．

在Rt△BOC中，BC= =5．

如图1，过点N作NH⊥AB于点H．

∴NH∥CO，

∴△BHN∽△BOC，

∴ ，即 = ，

∴HN= t．

∴S△MBN= MBHN= （6﹣3t） t=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣1）2+ ，

当△PBQ存在时，0＜t＜2，

∴当t=1时，

S△PBQ最大= ．

答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是

（3）

解：如图2，

在Rt△OBC中，cos∠B= = ．

设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t．

∴MB=6﹣3t．

当∠MNB=90°时，cos∠B= = ，即 = ，

化简，得17t=24，解得t= ，

当∠BMN=90°时，cos∠B= = ，

化简，得19t=30，解得t= ，

综上所述：t= 或t= 时，△MBN为直角三角形．

【解析】（1）把点A、B、C的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b、c的解析式，通过解方程组求得它们的值；（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△MBN与t的函数关系式S△MBN=﹣ （t﹣1）2+ ．利用二次函数的图象性质进行解答；（3）根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案．