Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0）B（4，0）两点，与y轴交于点C

（1）求抛物线解析式；
（2）点N是x轴下方抛物线上的一点，连接AN，若tan∠BAN=2，求点N的纵坐标；
（3）点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接AD，在x轴上是否存在E，使∠AED=∠CAD？如果存在，请直接写出点E坐标，如果不存在，请说明理由；
（4）连接AC、BC，△ABC的中线BM交y轴于点H，过点A作AG⊥BC，垂足为G，点F是线段BH上的一个动点（不与B、H重合），点F沿线段BH从点B向H移动，移动后的点记作点F′，连接F′C、F′A，△F′AC的F′C、F′A两边上的高交于点P，连接AP，CP，△F′AC与△PAC的面积分别记为S1 ， S2 ， S1和S2的乘积记为m，在点F的移动过程中，探究m的值变化情况，若变化，请直接写出m的变化范围，若不变，直接写出这个m值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得： ，

解得： ．

∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣3．

（2）

如图1所示：过点N作NM⊥x轴点M，则∠AMN=90°．

设点N的坐标为（x， x2﹣ x﹣3），则AM=x+1，MN=﹣ x2+ x+3．

∵tan∠BAN=2，

∴ =2，解得：x= 或x=﹣1（舍去）．

∴MN=2AM=3×（ +1）= ，

∴点N的坐标为（ ，﹣ ）．

（3）

如图2所示：连接CD，过点C作CG⊥AD，垂足为G，过点D作DF⊥x轴，垂足为F．

∵点C与点D关于对称轴直线x= 对称，

∴D（3，﹣3）．

∴DF=3，CD=3．

依据两点间的距离公式可知AD=5，AC= ．

∵S△ACD= CDOC= ADCG，

∴CG= ．

∴AG= = ．

∴tan∠CAD= ．

∵∠AED=∠CAD，

∴tan∠AED= = = ，即 = = ，解得EF=EF′= ．

∴E（﹣ ，0），E′（ ，0）．

∴点E的坐标为（﹣ ，0）或（ ，0）．

（4）

如图3所示：

∵A（﹣1，0），（4，0），C（0，﹣3），

∴AB=BC=5，AC= ．

∵MB为△ABC的中线，

∴MB⊥AC，MC= ．

∴MB为AC的垂直平分线，

∴∠AF′M=∠CF′M．

∵点P为AF′与CF′的高线的交点，

∴∠CAQ+∠ACQ=90°，∠CAQ+∠MF′A=90°，

∴∠ACQ=∠AF′M．

∴∠ACQ=∠CF′M．

又∵∠CMP=∠CMF′，

∴△CMP∽△F′MC．

∴ = ，即MPMF′= ．

∴m=S1S2= ACPM ACMF′= ×（ ）2× = ．

【解析】（1）将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、b的方程组，然后求得a、b的值即可；（2）过点N作NM⊥x轴点M，则∠AMN=90°．设点N的坐标为（x， x2﹣ x﹣3），则AM=x+1，MN=﹣ x2+ x+3，然后依据tan∠BAN=2，列方程求解即可；（3）连接CD，过点C作CG⊥AD，垂足为G，过点D作DF⊥x轴，垂足为F．先求得AC，AD的长，依据S△ACD= CDOC= ADCG，可求得CG的长，然后依据勾股定理可求得AG的长，从而可得到tan∠AED= = = ，从而可求得EF和E′F的长，然后求得点E和点E′的坐标即可；（4）先证明AB=BC，由等腰三角形的性质可知MB为AC的垂直平分线，然后再证明△CMP∽△F′MC，依据相似三角形的性质可求得MPMF′= ，最后由m=S1S2= ACPM ACMF′求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解锐角三角函数的定义的相关知识，掌握锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数．