Question

【题目】两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．

（1）如图1，若点D．E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为和位置关系为；
（2）将图1中三角板△DEC绕着点C顺时针（逆时针）旋转，旋转角为a（0°＜a＜180°）以图2和图3的情况为例，其中图2中旋转至点A、C、E在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若不成立，请说明理由；若成立，请从图2和图3中选其一证明
（3）在△DEC绕点C按图3方式旋转的过程中，当直线FH经过点C时，若AC=2，CD= ，请直接写出FG的长．

Answer 1

【答案】
（1）FG=FH；FG⊥FH
（2）

①答：成立，

证明：如图2中，

∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，

∴△ACD≌△BCE

∴AD=BE，

由（1）知：FH= AD，FH∥AD，FG= BE，FG∥BE，

∴FH=FG，FH⊥FG，

∴（1）中的猜想还成立．

②答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．

如图3中，连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，

同（1）可证

∴FH= AD，FH∥AD，FG= BE，FG∥BE，

∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，

∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中

，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，

∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，

∴∠DXB+∠EBC=90°，

∴∠EZA=180°﹣90°=90°，

即AD⊥BE，

∵FH∥AD，FG∥BE，

∴FH⊥FG，

即FH=FG，FH⊥FG，

结论是FH=FG，FH⊥FG．

（3）

如图4中，

由题意，易知CF⊥DE，△CFD，△CFE都是等腰直角三角形，

∵CD= ，

∴CF=DF=1，∵BC=AC=2，

∴BF= = ，

∴BD=BF﹣DF= ﹣1，

∵DG=GB，

∴DG= （ ﹣1），

∴FG=DF+DG= ．

【解析】（1）解：如图1中，

∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，
∴BE=AD，
∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，
∴FH= AD，FH∥AD，FG= BE，FG∥BE，
∴FH=FG，
∵AD⊥BE，
∴FH⊥FG，
所以答案是：FG=FH，FG⊥FH．
【考点精析】认真审题，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°)，还要掌握旋转的性质(①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了)的相关知识才是答题的关键．