Question

如图，△ABC中，∠CAB与∠CBA均为锐角，分别以CA、CB为边向△ABC外侧作正方形CADE和正方形CBFG，再作DD₁⊥直线AB于D₁，FF₁⊥直线AB于F₁．
求证：（Ⅰ）DD₁+FF₁=AB；
（Ⅱ）线段AB的中点N也平分线段D₁F₁．

Answer 1

证明：（1）过点C作CK⊥AB于K，
∵DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠EE₁B=∠AKC=∠BKC=90°，
∴∠DAD₁+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠EBE_1⁼90°，
∴∠DAD₁=∠ACK，∠EBE₁=∠BCK，
∵AD=AC，BC=BE，
∴△ADD₁≌△CAK，△EBE₁≌△BCK，
∴DD₁=AK，EE₁=BK，
∴DD₁+EE₁=AB；

（2）设M为DF的中点，Q为D₁F₁的中点，
则：且MQ⊥AB，
当四边形DD₁E₁E为矩形时，以上结论仍然成立．
∴△ADD₁≌△CAK，△EBE₁≌△BCK，
又∵D₁A=CK=E₁B，
∴AB的中点N就是D₁E₁的中点．
分析：（1）过点C作CH⊥AB，垂足为H；再通过两对全等三角形来证明DD₁+EE₁=AB即可；
（3）利用“梯形的中位线长等于两底和的一半”，设M为DE的中点，Q为D₁E₁的中点，MQ=AB且MQ⊥AB，特殊地，当四边形DD₁E₁E为矩形时，以上结论仍然成立．又因为可证明D₁A=E₁B，所以AB的中点N就是D₁E₁的中点．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，以及梯形中位线的性质等知识．此题综合性很强，注意数形结合思想的应用．