Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系内，A，B为x轴上两点，以AB为直径的⊙M交y轴于C，D两点，C为的中点，弦AE交y轴于点F，且点A的坐标为（2，0），CD＝8

（1）求⊙M的半径；

（2）动点P在⊙M的圆周上运动．

①如图1，当FP的长度最大时，点P记为P，在图1中画出点P0，并求出点P0横坐标a的值；

②如图1，当EP平分∠AEB时，求EP的长度；

③如图2，过点D作⊙M的切线交x轴于点Q，当点P与点A，B不重合时，请证明为定值．

Answer 1

【答案】（1）r＝5；（2）①点P0横坐标a的值等于3+2，②EP＝7，③．

【解析】

（1）由垂径定理可知OD＝4，连接OD在Rt△OMD中用勾股定理即可求出r．

（2）①连接FM并延长交⊙M于点P，FP长度最大．由已知可得AF＝CF，由勾股定理求OF＝，过P点作PH⊥OB，△OFM∽△HPM，由相似三角形对应边成比例可求MH，即可求出P点横坐标．

②过P点作PG⊥AE，连接AP、BP．当EP平分∠AEB时，可得△BAP和△EGP均为等腰直角三角形，由勾股定理可求PG＝GE＝7，进而可得EP的长．

③由DQ与⊙M于D点，可得△QMD∽△MDO，又MD＝MP，可得，进而证明△QMP∽△PMQ，即可由相似三角形性质求解．

（1）如图（1）：连接OD，

∵直径AB⊥CD，CD＝8，

∴OD＝CD＝4，

连接MD设MD＝MA＝r，

在Rt△OMD中．由OM2+OD2＝MD2，

得（r﹣2）2+42＝r2．解得r＝5，

（2）①如图1（1），连接FM并延长交⊙M于点P记作P0，FP长度最大．

∵直径AB⊥CD，C为的中点，

∴．

∴∠ACF＝∠CAF，

∴AF＝CF，

在Rt△AFO中，OA＝2，AF＝CF＝4﹣OF，

∴OF2+22＝（4﹣OF）2，解得：OF＝，

∴MF＝，

过P点作PH⊥OB，

∴△OFM∽△HPM，

∴，

∴，

∴MH＝，

∴点P0横坐标a的值等于3+．

②如图1（2）

∵．

∴，

∴AE＝CD＝8，

∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，

过P点作PG⊥AE，连接AP、BP．

当EP平分∠AEB时，∠BAP＝∠BEP＝∠AEP＝∠ABP＝45°，

△BAP和△EGP均为等腰直角三角形，∵AB＝10，

∴AP＝，

设EG＝PG＝b，在Rt△AGP中，PG2+AG2＝AP2，

即：,

解得：b＝7，b＝1（舍去）．

∴EP＝EG＝．

③如图2：连接PM、DM，

∵DQ与⊙M于D点，

∴∠MDQ＝90°＝∠DOM，

∴∠QMD＝∠DMO，

∴△QMD∽△MDO，

∴，

又∵MD＝MP，

∴，

又∵∠OMP＝∠PMQ，

∴△QMP∽△PMQ，

∴．