Question

【题目】如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）当∠BAE为多少度时，四边形AECF是菱形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）当∠BAE=30°时，四边形AECF是菱形

【解析】

（1）首先证明△ABE≌△CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；

（2）由折叠性质得到∠BAE=∠CAE=30°，求得∠ACE=90°-30°=60°，即∠CAE=∠ACE，得到EA=EC，于是得到结论．

（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DCA．

由翻折的性质可知：∠EAB=∠BAC，∠DCF=∠DCA．

∴∠EAB=∠DCF．

在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴DF=BE．

∴AF=EC．

又∵AF∥EC，

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）当∠BAE=30°时，四边形AECF是菱形，

理由：由折叠可知，∠BAE=∠CAE=30°，

∵∠B=90°，

∴∠ACE=90°-30°=60°，

即∠CAE=∠ACE，

∴EA=EC，

∵四边形AECF是平行四边形，

∴四边形AECF是菱形．