Question

【题目】正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°

（1）当OM经过点A时，

①请直接填空：ON______（可能，不可能）过D点：（图1仅供分析）

②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形；

③如图2，将②中的已知与结论互换，即在ON上取点E（E点在正方形ABCD外部），过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，若四边形EFCH为正方形，那么OE与OA是否相等？请说明理由；

（2）当点O在射线BC上且OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=2．在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO=S△OBG，连接GP，则当BO为何值时，四边形PKBG的面积最大？最大面积为多少？

Answer 1

【答案】（1）①不可能②见解析③OA=OE（2）当BO为时，四边形PKBG的面积最大，最大面积为

【解析】

（1）①若ON过点D时，则在△OAD中不满足勾股定理，可知不可能过D点；

②由条件可先判业四边形EFCH为矩形，再证明△OFE≌△ABO，可证得结论；

③结论：OA=OE．如图2-1中，连接EC，在BA上取一点Q，使得BQ=BO，连接OQ．证明△AQO≌△OCE（ASA）即可．

（2）由条件可证明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性质可求得OP=2，可求得△POG面积为定值及△PKO和△OBG的关系，只要△CGB的面积有最大值时，则四边形PKBG的面积就最大，设OB=a，BG=b，由勾股定理可用b表示出a，则可用a表示出△OBG的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，则可求得四边形PKBG面积的最大值．

（1）①若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，

∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，

∴OA2+OD2＞2AD2≠AD2，

∴∠AOD≠90°，这与∠MON=90°矛盾，

∴ON不可能过D点，

故答案为：不可能；

②如图2中，∵EH⊥CD，EF⊥BC，

∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，

∴四边形EFCH为矩形，

∵∠MON=90°，

∴∠EOF=90°-∠AOB，

在正方形ABCD中，∠BAO=90°-∠AOB，

∴∠EOF=∠BAO，

在△OFE和△ABO中，

∴△OFE≌△ABO（AAS），

∴EF=OB，OF=AB，

又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC，

∴CF=EF，

∴四边形EFCH为正方形；

③结论：OA=OE．

理由：如图2-1中，连接EC，在BA上取一点Q，使得BQ=BO，连接OQ．

∵AB=BC，BQ=BO，

∴AQ=QC，

∵∠QAO=∠EOC，∠AQO=∠ECO=135°，

∴△AQO≌△OCE（ASA），

∴AO=OE．

（2）

∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG，

∴△PKO∽△OBG，

∵S△PKO=S△OBG，

∴

∴OP=1，

∴S△POG=OGOP=×1×2=1，

设OB=a，BG=b，则a2+b2=OG2=4，

∴b=

∴

∴当a2=2时，△OBG有最大值1，此时S△PKO=S△OBG=，

∴四边形PKBG的最大面积为1+1+= ．

∴当BO为时，四边形PKBG的面积最大，最大面积为．