Question

【题目】如图，在等腰中，．点D,E分别在边AB,BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转90得到EF．

（1）如图1，若，点E与点C重合，AF与DC相交于点O．求证：．

（2）已知点G为AF的中点．

①如图2，若，求DG的长．

②若，是否存在点E，使得是直角三角形？若存在，求CE的长；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①，②存在，CE的长为：，2或，.

【解析】

（1）先证明CD＝BD＝AD，再证明，根据全等三角形的性质可得，由此即可证得结论；（2）①分别过点D，F作与点N，与点M，连接BF，先求得BF的长，再证明DG是△ABF的中位线，根据三角形的中位线定理即可求得DG的长；②分∠DEG＝90°和∠EDG＝90°两种情况求解即可．

解：（1）由旋转性质得:，

是等腰三角形，

，

在和中，

（2）①如图1，分别过点D，F作与点N，与点M，连接BF，

又，

，

又，，

，

点D，G分别是AB，AF的中点，

②过点D作与点H

，，

，

当时，有如图2，3两种情况，设，

，，

点E在线段AF上，

，，，

，，即，解得，

或，

当时，如图4，

图4

过点F作与点K，延长DG交AC于点N，延长AC并截取，连接FM，

则，，

设，则，，

，，，

，，得，

，，

四边形GECN是平行四边形，

∵，

四边形GECN是矩形， 当时，有

当时，如图5，

图5

过点G，F分别作AC的垂线，交射线AC于点N，M，过点E作于点K，过点D作GN的垂线，交NG的延长线于点P，则

设，则，

由可得：

，

由可得：

即

解得，（舍去）

所以，CE的长为：，2或，