Question

4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，-3），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（a＞0）的图象经过点A，动直线x=t，（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．
（1）求k的值；
（2）求△BMN面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）把点A坐标代入y=$\frac{k}{x}$（x＞0），即可求出k的值；
（2）先求出直线AB的解析式，利用t表示出M和N的纵坐标，则△MNB的面积即可利用t表示，即△BMN的面积是t的二次函数，即可得出面积的最大值．

解答 解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）得：
k=1×8=8，y=$\frac{8}{x}$，
∴k=8；
（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{1}{2}$，b=-3，
∴直线AB的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x-3；
设M（t，$\frac{8}{t}$），N（t，$\frac{1}{2}$t-3），
则MN=$\frac{8}{t}$-$\frac{1}{2}$t+3，
∴△BMN的面积S=$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{t}$-$\frac{1}{2}$t+3）t=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4=-$\frac{1}{4}$（t-3）²+$\frac{25}{4}$，
∴△BMN的面积S是t的二次函数，
∵-$\frac{1}{4}$＜0，
∴S有最大值，
当t=3时，△BMN的面积的最大值为$\frac{25}{4}$．

点评 本题是反比例函数一次函数和二次函数的综合应用，正确利用t表示出三角形MNB的面积是关键．