Question

如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A：∠C=1：2，AB=2，CD=1，求：
（1）∠A、∠C的度数；
（2）AD、BC的长度．

Answer 1

考点：多边形内角与外角,勾股定理,矩形的判定与性质

专题：

分析：（1）由四边形内角和为360°及∠B=∠D=90°，得出∠A+∠C=180°，又∠A：∠C=1：2，即可求出∠A、∠C的度数；
（2）延长AD与BC，两延长线交于点E，由∠B=∠D=90°，得到三角形ABE与三角形CDE都为直角三角形，由∠A=60°，得到∠E=30°，在直角三角形CDE中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，根据CD的长求出DE的长，同理在直角三角形ABE中，由AB的长求出AE的长，用AE-DE求出AD的长，用BE-CE求出BC的长即可．

解答：解：（1）在四边形ABCD中，∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠C=180°，
又∠A：∠C=1：2，
∴∠A=60°，∠C=120°；

（2）延长AD与BC，两延长线交于点E，如图所示，
∵∠B=90°，∠A=60°，
∴∠E=30°，
在Rt△CDE中，CD=1，
∴CE=2CD=2，
根据勾股定理得：DE=

CE2-CD2

=

3

，
在Rt△ABE中，AB=2，
∴AE=2AB=4，
根据勾股定理得：BE=

AE2-AB2

=2

3

，
则AD=AE-DE=4-

3

，BC=BE-CE=2

3

-2．

点评：此题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，四边形内角和定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．