Question

5．如图①，抛物线y=ax²上有一点C，CA⊥y轴于点A，直线l：y=-1垂直于y轴，CB⊥l于点B，且CA=CB=2，点A的坐标是（0，1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图②，若点P是抛物线上的任意一点，PD⊥l，垂足为D，则总有PA=PD吗？请经过计算验证你的结论；
（3）在（2）的条件下，连接AD，当△PAD是等边三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据勾股定理，可得AP的长，根据点到直线的距离，可得PD的长，可得答案；
（3）根据等边三角形的定义，可得AD=PD，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

解答 解：（1）由A（0，1），AC=2，
得C（2，1）．
将C点坐标代入函数解析式，得
1=4a．
解得a=$\frac{1}{4}$，
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²；
（2）若点P是抛物线上的任意一点，PD⊥l，垂足为D，则总有PA=PD，
证明：设P（m，$\frac{1}{4}$m²），
AP²=m²+（$\frac{1}{4}$m²-1）²=（$\frac{1}{4}$m²+1）²，
PD²=（$\frac{1}{4}$m²+1）²，
∴AP²=PD²，
∴AP=PD；
（3）设P（m，$\frac{1}{4}$m²），D（m，-1），A（0，1），
当△PAD是等边三角形，得
PA=PD=AD．
即AD²=PD²，
m²+2²=（$\frac{1}{4}$m²+1）²．
化简，得
m²=12，解得m₁=2$\sqrt{3}$或m₂=-2$\sqrt{3}$．
当m=2$\sqrt{3}$时，$\frac{1}{4}$m²=3，即P（2$\sqrt{3}$，3）；
当m=-2$\sqrt{3}$时，$\frac{1}{4}$m²=3，即P（-2$\sqrt{3}$，3）；
综上所述：当△PAD是等边三角形时，点P的坐标（2$\sqrt{3}$，3）；（-2$\sqrt{3}$，3）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用勾股定理得出PA的长，点到直线的距离得出PD的长是解题关键；利用AD与PD的关系得出关于m的方程是解题关键．