Question

10．如图，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，点P（m，n）（n＞0）为抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①当m=-1时，试判断△ABP的形状，并说明理由；②当∠APB为锐角时，请直接写出m的取值范围．
（3）在直线y=$\frac{1}{2}$x上是否存在点E，使以点A、B、P、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求得；
（2）①求得P的坐标，根据勾股定理求得PA、PB的长，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABP是直角三角形；
②由①可知当抛物线上的点P在以AB为直径的圆外时，满足∠APB为锐角，根据圆的轴对称性可知：-1＜m＜2．
（3）此题应分两种情况讨论：
①BC为平行四边形的边；那么点P和点E的纵坐标相等，解方程即可得到点E的横坐标，再代入直线的解析式中求解即可；
②BC为平行四边形的对角线；根据平行四边形的中心对称性，点P和点E的纵坐标互为相反数，解方程即可得到点E的横坐标，再代入直线的解析式中求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于A（-2，0）、B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3；
（2）①把x=m=-1代入y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3得，y=n=2，
∴P（-1，2），
∵A（-2，0）、B（3，0），
∴AB=5，PA=$\sqrt{（-1+2）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{5}$，PB=$\sqrt{（-1-3）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{20}$，
∴AB²=PA²+PB²=25，
∴△ABP为直角三角形；
②由题意可知，当∠APB为锐角时，应该在以AB为直径的圆外，根据圆的轴对称性可知：满足∠APB为锐角，-1＜m＜2；
（3）因为BC只能为平行四边形的边，
∵A（-2，0）、B（3，0），
∴PE=AB=5，
设P（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3），则E（5+x，$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$x），
根据平行四边形的性质：-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$x，解得x=±1，
∴E₁（4，2）、E₂（6，3）；
故点E的坐标为E（4，2）或（6，3）．

点评 此题主要考查的是利用待定系数法确定函数解析式、圆的性质，考查了二次函数的对称性以及平行四边形的特点等重要知识点，解题的关键是数形结合思想的应用．