Question

6．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BM是AC边中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB=DE，EF⊥AC于点F，以下结论：
（1）∠DBM=∠CDE； （2）S_△BDE＜S_{四边形BMFE}；
（3）CD•EN=BN•BD； （4）AC=2DF．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1）设∠EDC=x，则∠DEF=90°-x从而可得到∠DBE=∠DEB=180°-（90°-x）-45°=45°+x，∠DBM=∠DBE-∠MBE=45°+x-45°=x，从而可得到∠DBM=∠CDE；
（2）可证明△BDM≌△DEF，然后可证明：△DNB的面积=四边形NMFE的面积，所以△DNB的面积+△BNE的面积=四边形NMFE的面积++△BNE的面积；
（3）可证明△DBC∽△NEB；
（4）由△BDM≌△DEF，可知DF=BM，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM=$\frac{1}{2}$AC．

解答 解：（1）设∠EDC=x，则∠DEF=90°-x
∴∠DBE=∠DEB=∠EDC+∠C=x+45°，
∵BD=DE，
∴∠DBM=∠DBE-∠MBE=45°+x-45°=x．
∴∠DBM=∠CDE，故（1）正确；
（2）在Rt△BDM和Rt△DEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠CDE}\\{∠DMB=∠DFE}\\{BD=DE}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDM≌Rt△DEF．
∴S_△BDM=S_△DEF．
∴S_△BDM-S_△DMN=S_△DEF-S_△DMN，即S_△DBN=S_{四边形MNEF}．
∴S_△DBN+S_△BNE=S_{四边形MNEF}+S_△BNE，
∴S_△BDE=S_{四边形BMFE}，故（2）错误；
（3）∵∠BNE=∠DBM+∠BDN，∠BDM=∠BDE+∠EDF，∠EDF=∠DBM，
∴∠BNE=∠BDM．
又∵∠C=∠NBE=45°
∴△DBC∽△NEB．
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{BN}{EN}$，
∴CD•EN=BN•BD；故（3）正确；
（4）∵Rt△BDM≌Rt△DEF，
∴BM=DF，
∵∠B=90°，M是AC的中点，
∴BM=$\frac{1}{2}AC$．
∴DF=$\frac{1}{2}AC$，故（4）正确．
故选：C．

点评 本题主要考查的是全等三角形、相似三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质，利用面积法证明S_△BDE=S_{四边形BMFE}是解答本题的关键．