Question

1．已知抛物线y=x²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C，该抛物线的顶点为点D．
（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）连接AC，CD，BD，BC，设△AOC，△BOC，△BCD的面积分别为S₁，S₂和S₃，用等式表示S₁，S₂，S₃之间的数量关系，并说明理由；
（3）点M是线段AB上一动点（不包括点A和点B），过点M作MN∥BC交AC于点N，连接MC，是否存在点M使∠AMN=∠ACM？若存在，求出点M的坐标和此时刻直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，用配方法把一般式化为顶点式求出点D的坐标；
（2）根据点的坐标求出△AOC，△BOC的面积，利用勾股定理的逆定理判断△BCD为直角三角形，求出其面积，计算即可得到答案；
（3）假设存在，设点M的坐标为（m，0），表示出MA的长，根据MN∥BC，得到比例式求出AN，根据△AMN∽△ACM，得到比例式求出m，得到点M的坐标，求出BC的解析式，根据MN∥BC，设直线MN的解析式，求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过A（-1，0），B（3，0）两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3，
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴点D的坐标为：（1，-4）；
（2）S₁+S₃=S₂，
过点D作DE⊥x轴于点E，DF⊥y轴于F，
由题意得，CD=$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，BC=3$\sqrt{2}$，
CD²+BC²=BD²，
∴△BCD是直角三角形，
S₁=$\frac{1}{2}$×OA×OC=$\frac{3}{2}$，
S₂=$\frac{1}{2}$×OB×OC=$\frac{9}{2}$
S₃=$\frac{1}{2}$×CD×BC=3，
∴S₁+S₃=S₂；
（3）存在点M使∠AMN=∠ACM，
设点M的坐标为（m，0），
∵-1＜m＜3，
∴MA=m+1，AC=$\sqrt{10}$，
∵MN∥BC，
∴$\frac{AM}{AN}$=$\frac{AB}{AC}$，即$\frac{m+1}{AN}$=$\frac{4}{\sqrt{10}}$，
解得，AN=$\frac{\sqrt{10}}{4}$（m+1），
∵∠AMN=∠ACM，∠MAN=∠CAM，
∴△AMN∽△ACM，
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{AN}{AM}$，即（m+1）²=$\sqrt{10}$•$\frac{\sqrt{10}}{4}$（m+1），
解得，m₁=$\frac{3}{2}$，m₂=-1（舍去），
∴点M的坐标为（$\frac{3}{2}$，0），
设BC的解析式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，-3）代入得，
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
则BC的解析式为y=x-3，又MN∥BC，
∴设直线MN的解析式为y=x+b，把点M的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）代入得，
b=-$\frac{3}{2}$，
∴直线MN的解析式为y=x-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查的是二次函数的解析式的确定和相似三角形的判定和性质，灵活运用待定系数法二次函数和一次函数求解析式是解题的关键，注意一元二次方程的解法和勾股定理逆定理的运用．