Question

如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，E是DA延长线上一点，AB²=AE•BC，BE和CA的延长线交于点F．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）已知BC=18，CD=12，AF=16，求BE和AD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OA，OB，
∵AD∥BC，∠ABC=∠EAB，
∵AB²=AE•BE，∴，∴△ABC∽△EAB
∴∠1=∠2
∵OA=OB，∴∠3=∠BAO，
∴∠O+2∠3=180°
又∵∠O=2∠2，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠1+∠3=90°
∴∠EBO=90°，∴OB⊥BF
又B点在⊙O上，
∴BF是⊙O的切线

（2）解：∵AD∥BC，AB=CD，
∴AB=CD=12，
∵AB²=AE•BC，∴
∵AD∥BC，∴△EFA∽△FBC，∴
∴，∴AC=20
由（1）知△ABC∽△EAB，∴，∴
由△EBA∽△EBD（或由切割线定理）得EB²=EA•ED，∴
∴
综上，，为所求．
分析：（1）连接OA，OB，由三角形相似证明∠1=∠2，再证∠EBO=90，即可证BE是⊙O的切线，
（2）首先由AD∥BC，求出AB、CD，由三角形相似，求出FC，由（1）知△ABC∽△EAB，求出EB，进而求出ED、AB．
点评：本题考查了切线的判定，相似三角形等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．