Question

【题目】已知，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直于AB于点F，交BC于点G，∠A=∠BCP．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若点C在劣弧AD上运动，其条件不变，问应再具备什么条件可使结论BG2=BF·BO成立，（要求画出示意图并说明理由）.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】试题分析：（1）证PC是⊙O的切线，即证∠OCP=90°，而∠OCP=∠BCP+∠OCB=∠A+∠OBC，因为AB为直径，直径所对的圆周角为直角，即可证明．

（2）BG2=BFBO要成立，Rt△BFG和Rt△BGO必须相似，而他们已经共用了一角B，所以如果相似，则必有∠BFG=∠BGO=90°，根据垂径定理，G点必在BC中点处．

试题解析：（1）证明：连接OC．∵OA=OC，∴∠A=∠OCA．∵AB为直径，∴∠OCA+∠OCB=90°，∴∠OCP=∠BCP+∠OCB=90°，即PC是⊙O的切线．

（2）解：添加条件为：G为BC的中点．

连接OG．∵G为BC的中点，∴OG⊥BC又FG⊥BO，∴Rt△BFG∽Rt△BGO，∴ ，即BG2=BFBO．