Question

【题目】数学活动

问题情境：

如图1，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，将ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°)得到AD′E′，连接CE′，BD′.探究CE′与BD′的数量关系；

图1　　 图2 图3　　 图4

探究发现：

(1)图1中，CE′与BD′的数量关系是________；

(2)如图2，若将问题中的条件“D，E分别是边AB，AC的中点”改为“D为AB边上任意一点，DE∥BC交AC于点E”，其他条件不变，(1)中CE′与BD′的数量关系还成立吗？请说明理由；

拓展延伸：

(3)如图3，在(2)的条件下，连接BE′，CD′，分别取BC，CD′，E′D′，BE′的中点F，G，H，I，顺次连接F，G，H，I得到四边形FGHI.请判断四边形FGHI的形状，并说明理由；

(4)如图4，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，点D，E分别在AB，AC上，且DE∥BC，将ADE绕点A顺时针旋转60°得到AD′E′，连接CE′，BD′.请你仔细观察，提出一个你最关心的数学问题(例如：CE′与BD′相等吗？)．

Answer 1

【答案】CE′＝BD′

【解析】试题分析：（1）先证明AD=AE，再根据旋转得到∠BAD′＝∠CAE′＝α，AD′＝AE′，证明△ABD′≌△ACE′，根据全等三角形的对应边相等即可得；

（2）类比（1）的方法先证明AD=AE，然后再证明△ABD′≌△ACE′，根据全等三角形的性质即可得；

（3）先证明四边形FGHI是平行四边形，再证明四边形FGHI是菱形， 延长CE交BD′于点M，由（2）得△ABD′≌△ACE′, 从而推导可得∠CBM+∠BCM=90°，进而可推导得到∠IFG＝90°，从而得四边形FGHI是正方形；

（4）答案不唯一，只要符合题意即可.

试题解析：(1) ∵D、E分别为AB、AC的中点，∴AD=AB，AE=AC，

∵AB＝AC，∴AD＝AE，

∵△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°)，得到△AD′E′，

∴∠BAD′＝∠CAE′＝α，AD′＝AE′，

在△ABD′和△ACE′中，

∴△ABD′≌△ACE′，

∴CE′＝BD′，

故答案为：CE′＝BD′；

(2)CE′与BD′的数量关系还成立，理由如下：

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.

∴∠ADE＝∠AED，∴　AD＝AE，

∵△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°＜α＜90°)，得到△AD′E′，

∴∠BAD′＝∠CAE′＝α，AD′＝AE′，

在△ABD′和△ACE′中，

∴　△ABD′≌△ACE′，

∴　CE′＝BD′；

(3)四边形FGHI是正方形，

∵F，G，H，I分别是BC，CD′，E′D′，BE′的中点，

∴FG＝HI＝BD′，IF＝HG＝CE′.

∴四边形FGHI是平行四边形，

又∵BD′＝CE′，∴FG＝IF，

∴四边形FGHI是菱形，

延长CE交BD‘于点M，如图，

由（2）得△ABD′≌△ACE′,

∴∠ACE′=∠ABD′，

∵∠BAC=90°，

∴∠ACE′+∠ABC+∠BCM=90°，

∴∠ABD′+∠ABC+∠BCM=90°，

∴∠CBM+∠BCM=90°，

又∵FG∥BD′，IF∥CE′，

∴∠CFG＝∠CBM，∠BFI＝∠BCM，

∴∠CFG＋∠BFI＝90°，∴∠IFG＝90°，

∴四边形FGHI是正方形；

(4)答案不唯一，如：①△ABD′和△ACE′全等吗？

②△BDD′和△CEE′全等吗？

③∠BD′D和∠CE′E相等吗？

④四边形AD′DE是菱形吗？，