如图所示，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分C1与经过点A，D，B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．分析 （1）把抛物线解析整理，令y=0可求得x的值，则可求得A、B的坐标；
（2）由A、B、C的坐标，利用待定系数法可求得经过点A、B、C的抛物线解析式；
（3）连接BC、过点P作PQ∥y轴，交BC于点Q，由B、C的坐标可求得直线BC的解析式，则可设出P点坐标，从而表示出Q点坐标，则可求得PQ的长，从而用P点坐标表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得P点坐标和△PBC面积的最大值．
解答 解：
（1）∵y=mx2-2mx-3m=m（x-3）（x+1），且m≠0，
∴当y=0时，可得m（x-3）（x+1）=0，解得x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）设过A、B、C三点的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
则有$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线C1解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-x-$\frac{3}{2}$；
（3）如图，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，
设直线BC解析式为y=kx+s，则有$\left\{\begin{array}{l}{3k+s=0}\\{s=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{s=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
设P（x，$\frac{1}{2}$x2-x-$\frac{3}{2}$），则Q（x，$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$），
∴PQ=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$-（$\frac{1}{2}$x2-x-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x，
∴S△PBC=$\frac{1}{2}$PQ•OB=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x）×3=-$\frac{3}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）2+$\frac{27}{16}$，
∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，S△PBC有最大值，S最大=$\frac{27}{16}$，此时P点纵坐标为$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{2}$）2-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$=-$\frac{15}{8}$，
此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{8}$）．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及一元二次方程、待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想的应用等知识．在（1）中把抛物线解析式因式分解可求得A、B的坐标，在（2）中求得抛物线C1的解析式，用P点的坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
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