Question

【题目】已知等边△ABC，D是BC上一点，E是平面上一点，且DE＝AD，∠ADE＝60°，连接CE．

（1）当点D是线段BC的中点时，如图1．判断线段BD与CE的数量关系，并说明理由；

（2）当点D是线段BC上任意一点时，如图2．请找出线段AB，CE，CD三者之间的数量关系，并说明理由；

（3）当点D在线段BC的延长线上时，如图3，若△ABC边长为6，设CD＝x，则线段CE＝　 　（用含x的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CE，理由见解析；（2）AB＝CE+CD，理由见解析；（3）x+6．

【解析】

（1）连接AE，根据等边三角形的判定定理得到△ADE是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC，得到AC垂直平分DE，根据线段垂直平分线的定义证明结论；

（2）连接AE，证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等解答；

（3）连接AE，证明△ABD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等得到BD＝CE，代入计算得到答案．

（1）BD＝CE，

证明：如图1，连接AE，

∵DE＝AD，∠ADE＝60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴∠DAE＝60°，

∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，

∴AD平分∠BAC，

∴∠DAC＝30°，

∵∠DAE＝60°，

∴AC平分∠DAE，

∵△ADE是等边三角形，

∴AC垂直平分DE，

∴CE＝CD，

∵BD＝CD，

∴CE＝BD；

（2）AB＝CE+CD，

证明：如图2，连接AE，

∵DE＝AD，∠ADE＝60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD＝CE，

∴AB＝BC＝BD+CD＝CE+CD；

（3）如图3，连接AE，

∵DE＝AD，∠ADE＝60°，

∴△ADE是等边三角形，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

,

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴BD＝CE，

∴CE＝BD＝BC+CD＝x+6，

故答案为：x+6．