Question

已知二次函数y=x²-2mx+m²+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）当m=1时，该函数的图象沿y轴向下平移h个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点，则h=

 

；所得新抛物线的解析式为

 

．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）求出根的判别式，根据根的判别式符号来证得结论；
（2）根据“上加下减”的规律写出平移后抛物线的解析式，然后由根的判别式为0列出方程，即可求得h的值．

解答：（1）证明：∵a=1，b=-2m，c=m²+3
∴△=b²-4ac
=（-2m）²-4×1×（m²+3）
=4m²-4m²-12
=-12
∵-12＜0，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2）解：当m=1时，该二次函数解析式为：y=x²-2x+4．
图象平移后的解析式为：y=x²-2x+4-h．
∵平移后的函数图象与x轴只有一个交点，
∴△=4-4（4-h）=0，
解得 h=3，
∴所得新抛物线的解析式为：y=x²-2x+1．
故答案是：3；y=x²-2x+1．

点评：本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．