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【题目】如图,一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=(k为常数,且k0)的图象交于A(1,a),B两点.

(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;

(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标及PAB的面积.

【答案】(1)y=,点B坐标(3,1);(2)点P坐标(,0),

【解析】

试题分析:(1)把点A(1,a)代入一次函数y=﹣x+4,即可得出a,再把点A坐标代入反比例函数y=,即可得出k,两个函数解析式联立求得点B坐标;

(2)作点B作关于x轴的对称点D,交x轴于点C,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最小,求出直线AD的解析式,令y=0,即可得出点P坐标.

解:(1)把点A(1,a)代入一次函数y=﹣x+4,

得a=﹣1+4,

解得a=3,

A(1,3),

点A(1,3)代入反比例函数y=

得k=3,

反比例函数的表达式y=

两个函数解析式联立列方程组得

解得x1=1,x2=3,

点B坐标(3,1);

(2)作点B作关于x轴的对称点D,交x轴于点C,连接AD,交x轴于点P,此时PA+PB的值最小,

D(3,﹣1),

设直线AD的解析式为y=mx+n,

把A,D两点代入得,

解得m=﹣2,n=5,

直线AD的解析式为y=﹣2x+5,

令y=0,得x=

点P坐标(,0),

S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=

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