Question

三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=2BC=12．将纸片折叠使点A总是落在BC边上，记为点D，EF是折痕，如右图．
（1）当△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形时，求△DCF的面积；
（2）在BC边上是否存在一点D，使以D，E，F为顶点的三角形和以D，E，B为顶点的三角形相似？若存在，求出相似比；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，sinA=．
∴∠A=30°=∠EDF，AC=AB•cos30°=6•
△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形，
∴∠DFE=∠DEF=75°
∴∠DFC=30°，
∴DF=2DC=AF，CF=DC，
∴DC+2DC=6，
∴DC=12-18，CF=DC=36-18
∴△DCF的面积s=378-648；

（2）不存在．理由如下：
在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，
因为∠EDF=30°．
如果△DEF和△BDE相似，则∠BDE和∠BED必须有一个等于30°，显然当D点与C点重合的时候∠BDE最小，此时∠BDE=6 O°，
所以∠BDE不可能等于30°，
如果∠BED=30°，那么∠BDE=90°，而∠DEF=75°，
所以△DEF和△BDE不能相似，
所以，在BC边上不存在点D，使以D、E、F为顶点的三角形和以D、E、B为顶点的三角形相似．
分析：（1）在Rt△ABC中，由于AB=2BC，利用sinA可以得到∠A=30°=∠EDF，接着利用三角函数可以求出AC，而△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到∠DFE=∠DEF=75°，进一步得到∠DFC=30°，利用直角三角形的性质可以得到DF=2DC=AF，CF=DC，然后列出方程DC+2DC=6，由此求出CD，CF，最后利用面积的割补即可求解．
（2）不存在．由于在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，而∠EDF=30°，如果△DEF和△BDE相似，则根据相似三角形的性质得到∠BDE和∠BED必须有一个等于30°，显然当D点与C点重合的时候∠BDE最小，此时∠BDE=6 O°，由此即可判定；如果∠BED=30°，那么∠BDE=90°，而∠DEF=75°，所以△DEF和△BDE不能相似，这样就可以解决问题．
点评：此题分别考查了相似三角形的性质与判定、解直角三角形及折叠问题，也是一个存在性问题，解题时首先正确理解题意，然后利用图形的性质解决问题．