Question

如图，△ABC中，O是BC的中点，D是∠BAC平分线上的一点，且DO⊥BC，过点D分别作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．
求证：BM=CN．

Answer 1

证明：连接BD，CD，如图，
∵O是BC的中点，DO⊥BC，
∴OD是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△BMD和Rt△CND中，
，
∴Rt△BMD≌Rt△CND，
∴BM=CN．
分析：根据O是BC的中点，DO⊥BC，可知OD是BC的垂直平分线，那么BD=CD，而AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角平分线的性质可得DM=DN，再根据HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，从而有BM=CN．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及性质，掌握角平分线的性质以及具体的应用．