Question

【题目】在一次数学兴趣小组活动中，小明利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小明一起进入探索之旅．

问题情境：

（）如图， 中， ， ，则的外接圆的半径为__________．

操作实践：

（）如图，在矩形中，请利用以上操作所获得的经验，在矩形内部用直尺与圆规作出一点．点满足： ，且．

（要求：用直尺与圆规作出点，保留作图痕迹．）

迁移应用：

（）如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点，坐标为．过点作轴， 轴，垂足分别为、，若点在线段上滑动（点可以与点、重合），发现使得的位置有两个，则的取值范围为__________．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）作图见解析；（3）

【解析】试题分析：（1）连接OB、OC，只要证明△OBC是等边三角形即可．

（2）如图2中，作BC的垂直平分线，交BE于点O，以O为圆心，OB为半径作圆，交垂直平分线于点P，则点P为所求．

（3）如图3中，在x轴上方作△OKC，使得△OKC是以OC为斜边的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．当EK=KC=时，以K为圆心，KC为半径的圆与AB相切，此时m=BC=1+，在AB上只有一个点P满足∠OPC=∠OKC=45°，当BK=时，在AB上恰好有两个点P满足∠OPC=∠OKC=45°，此时m=BC=2，由此不难得出结论．

试题解析：解：（1）如图1中，连接OB、OC．

∵∠BOC=2∠A，∠A=30°，∴∠BOC=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=OC=BC=2，故答案为：2．

（2）如图2中，作BC的垂直平分线，交BE于点O；

以O为圆心，OB为半径作圆，交垂直平分线于点P，则点P为所求．

（3）如图3中，在x轴上方作△OKC，使得△OKC是以OC为斜边的等腰直角三角形，作KE⊥AB于E．

∵OC=2，∴OK=KC=，当EK=KC=时，以K为圆心，KC为半径的圆与AB相切，此时m=BC=1+，在AB上只有一个点P满足∠OPC=∠OKC=45°，当BK=时，在AB上恰好有两个点P满足∠OPC=∠OKC=45°，此时m=BC=2．

综上所述，满足条件的m的值的范围为2≤m＜1+．

故答案为：2≤m＜1+．