Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一点，其坐标为（

1

2

，-

7

4

），B点坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）经过A、B、D三点的圆交AC于F，交直线y=x+3于点E．试判断△BEF的形状，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）将D、B的坐标代入抛物线的解析式中即可求出二次函数的解析式．
（2）先根据抛物线的解析式求出A、P的坐标，然后根据角度判定△BEF的形状．

解答：解：（1）根据题意有：

1 4 + 1 2 b+c=- 7 4 1+b+c=0

，
解得：

b=2 c=-3

，
∴抛物线的解析式为y=x²+2x-3．

（2）△BEF为等腰直角三角形．
证明：如图，当y=0时，x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1．
∴A点坐标为（-3，0）．
∵直线y=x+3，当x=0时，y=3，当y=0时，x=-3，
∴直线y=x+3经过点A（-3，0），交y轴于点P（0，3）．
∴OA=OP，∴∠OAP=45°．当x=0时，y=x²+2x-3=-3，
∴点C的坐标为（0，-3）．∴OA=OC，∴∠OAC=45°．∴∠EAF=90°，∴∠EBF=90°．
∵∠FEB=∠OAC=45°，∴∠EFB=45°，∴BE=BF．
∴△BEF为等腰直角三角形．

点评：本题难度一般，主要考查的是利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后根据解析式求出相关坐标．