Question

13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；
（3）过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．

解答 解：
（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
把A、B、C三点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-3x-4；
（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，

∴PO=PD，此时P点即为满足条件的点，
∵C（0，-4），
∴D（0，-2），
∴P点纵坐标为-2，
代入抛物线解析式可得x²-3x-4=-2，解得x=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$（小于0，舍去）或x=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，
∴存在满足条件的P点，其坐标为（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，-2）；
（3）∵点P在抛物线上，
∴可设P（t，t²-3t-4），
过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，

∵B（4，0），C（0，-4），
∴直线BC解析式为y=x-4，
∴F（t，t-4），
∴PF=（t-4）-（t²-3t-4）=-t²+4t，
∴S_△PBC=S_△PFC+S_△PFB=$\frac{1}{2}$PF•OE+$\frac{1}{2}$PF•BE=$\frac{1}{2}$PF•（OE+BE）=$\frac{1}{2}$PF•OB=$\frac{1}{2}$（-t²+4t）×4=-2（t-2）²+8，
∴当t=2时，S_△PBC最大值为8，此时t²-3t-4=-6，
∴当P点坐标为（2，-6）时，△PBC的最大面积为8．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出P点的位置是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．