Question

如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=8，BC=6，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O   的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．
（1）若点D与点A重合，则θ=

 

，a=

 

；
（2）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），求θ的度数；
（3）若θ=45°，四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在四边形OABC的边AB上的E处，直线l与AB相交于点F（如图3），
①求a的值；
②点P为边OA上一动点，连接PE，PF，直接写出PE+PF的最小值的平方．

Answer 1

考点：四边形综合题,线段的性质：两点之间线段最短,全等三角形的判定与性质,勾股定理,平行四边形的判定与性质,轴对称的性质

专题：压轴题

分析：（1）利用轴对称的性质即可解决问题；
（2）延长MD、OA，交于点N，如图2．易证△BDM≌△ADN，则有DM=DN，根据垂直平分线的性质可得OM=ON，根据等腰三角形的性质可得∠MOD=∠NOD，从而就可求出θ；
（3）①过点B作BH⊥OA于点H，如图3，易得∠FOA=45°，∠OFA=90°，∠OAB=45°，从而可得∠HBA=∠HAB，则有BH=AH．易证四边形BCOH是平行四边形，则有BH=CO=8，OH=CB=6，就可求出OA长；②过点F作OA的对称点Q，连接AQ、EQ，如图3，则有∠QAO=∠FAO=45°，QA=FA，从而可得∠QAF=90°．然后根据勾股定理可求出AB、AF、AQ、OF、OB、BF，由折叠可求出EF，从而可求出AE长，在Rt△QAE中，运用勾股定理可求出EQ²长，然后根据两点之间线段最短可得：当点E、P、Q三点共线时，PE+PF=PE+PQ最短，最小值为线段EQ长，问题得以解决．

解答：解：（1）若点D与点A重合，
则θ=

1

2

∠COA=45°，OA=OC=8．
故答案为45°，8．                                         

（2）延长MD、OA，交于点N，如图2．
∵∠AOC=∠BCO=90°，
∴∠AOC+∠BCO=180°，
∴BC∥OA，
∴∠B=∠DAN．
在△BDM和△ADN中，

∠B=∠DAN BD=AD ∠BDM=∠ADN

，
∴△BDM≌△ADN（ASA），
∴DM=DN．
∵∠ODM=∠OCM=90°，
∴根据线段垂直平分线的性质可得OM=ON，
∴根据等腰三角形的性质可得∠MOD=∠NOD．
由折叠可得∠MOD=∠MOC=θ，
∴∠COA=3θ=90°，
∴θ=30°                                                   

（3）①过点B作BH⊥OA于点H，如图3．
∵∠COA=90°，∠COF=45°，
∴∠FOA=45°．
∵点B与点E关于直线l对称，
∴∠OFA=∠OFB=90°，
∴∠OAB=45°，
∴∠HBA=90°-45°=45°=∠HAB，
∴BH=AH．
∵CO⊥OA，BH⊥OA，∴CO∥BH．
∵BC∥OA，∴四边形BCOH是平行四边形，
∴BH=CO=8，OH=CB=6，
∴OA=OH+AH=OH+BH=6+8=14．                             
②过点F作OA的对称点Q，连接AQ、EQ，如图3，
则有∠QAO=∠FAO=45°，QA=FA，
∴∠QAF=90°．
在Rt△BHA中，AB=

BH2+AH2

=8

2

．
在Rt△OFA中，AF=OA•cos∠FAO=14×

2

2

=7

2

，
∴AQ=AF=7

2

．
OF=OA•sin∠FAO=14×

2

2

=7

2

．
在Rt△OCB中，OB=

OC2+BC2

=

82+62

=10．
在Rt△OFB中，BF=

OB2-OF2

=

102-(7 2 )2

=

2

．
由折叠可得EF=BF=

2

，
∴AE=AF-EF=7

2

-

2

=6

2

．
在Rt△QAE中，
EQ²=AE²+AQ²=（6

2

）²+（7

2

）²=170．
根据两点之间线段最短可得：
当点E、P、Q三点共线时，PE+PF=PE+PQ最短，最小值为线段EQ长．
∴PE+PF的最小值的平方是170．

点评：本题主要考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、两点之间线段最短、勾股定理、三角函数、平行线的判定与性质等知识，综合性强．利用平行加中点构造全等三角形是解决第（2）小题的关键，利用两点之间线段最短及勾股定理是解决第（3）小题的关键．