Question

如图1，等边△ABC，∠BAC的平分线交y轴于点D，C的坐标为（0，6）
（1）求D点的坐标；
（2）如图2，E为x轴上任一点，以CE为边在第一象限内作等边△CEF，FB的延长线交y轴于点G，求OG的长；
（3）如图3，在（1）的条件下，M为y轴正半轴上一点，N为射线AD上一点，且∠MBN=60°，求DN-DM的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）如图1，根据等边三角形的性质得OA=OB，∠ACO=30°，∠BAC=60°，在Rt△ACO中，AO=

3

3

OC=2

3

，由于AD为∠OAC的平分线，则∠OAD=30°，
于是可计算出OD=

3

3

OA=2，则D点坐标为（0，2）；
（2）如图2，作FG⊥BC于G，FH⊥x轴于H，由△EFC为等边三角形得到FC=FE，∠FCE=∠CFE=60°，易得∠CBE=120°，根据四边形内角和得到∠FCB+∠BEF=180°，根据等角的补角相等得∠FCB=∠FEH，则可证明△FCG≌△FEH，得到FG=FH，根据角平分线的判定得BF平分∠CBE，所以∠FBE=

1

2

∠CBE=60°，
则∠OBG=60°，然后利用OG=

3

OB进行计算；
（3）在DN上截取DP=DM，连接MP、DB，如图3，通过证明△MNP≌△MBD，得到PN=BD=4，则DN-DP=4，所以DN-DM=4，即DN-DM是定值．

解答：解：（1）如图1，
∵△ABC为等边三角形，
而OC⊥AB，
∴OA=OB，∠ACO=30°，∠BAC=60°，
在Rt△ACO中，AO=

3

3

OC=2

3

，
∵AD为∠OAC的平分线，
∴∠OAD=30°，
∴OD=

3

3

OA=2，
∴D点坐标为（0，2）；

（2）如图2，作FG⊥BC于G，FH⊥x轴于H，
∵△EFC为等边三角形，
∴FC=FE，∠FCE=∠CFE=60°，
∵∠OBC=60°，
∴∠CBE=120°，
∴∠FCB+∠BEF=180°，
而∠FEH+∠BEF=180°，
∴∠FCB=∠FEH，
在△FCG和△FEH中，

∠FGC=∠FHE ∠FCG=∠FEH FC=FE

，
∴△FCG≌△FEH（AAS），
∴FG=FH，
∴BF平分∠CBE，
∴∠FBE=

1

2

∠CBE=60°，
∴∠OBG=60°，
∵OB=OA=2

3

，
∴OG=

3

OB=

3

•2

3

=6；

（3）在DN上截取DP=DM，连接MP、DB，如图3，
∵DO垂直平分AB，
∴DA=DB=2OD=4，
∵∠DAO=30°，
∴∠ADO=60°，
∴∠MDP=60°，
而DM=DP，
∴△DMP为等边三角形，
∴DM=MP，∠DPM=∠60°，
∴∠MPN=120°，
∵∠MBN=60°，∠MDN=60°，
∴点M、D、B、N四点共圆，
∴∠MND=∠MBD，
在△MNP和△MBD中，

∠MNP=∠MBD ∠MPN=∠MDB MP=MD

，
∴△MNP≌△MBD（AAS），
∴PN=BD=4，
∴DN-DP=4，
∴DN-DM=4．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．记住等边三角形的性质．