Question

如图，△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，点D在BC的延长线上，BE⊥AD，交AC于M．
（1）求证：AD=BM；
（2）若∠DMB=105°，求证：AD+AM=BD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）通过ASA证得△ADC≌△BMC，则其对应边相等：AD=BM；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等、对应角相等和已知条件判定∠DAC=∠MBC=30°．设CD=CM=a．则由“含30度角的直角三角形的性质”推知AD=2a，AC=BC=

3

a，AM=

3

a-a，故AD+AM=2a+

3

a-a=a+

3

a=CD+BC=BD，即AD+AM=BD．

解答：证明：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCM=90°．
又BE⊥AD，
∠AEB=∠BCM=90°．
又∵∠AME=∠BMC（对顶角相等），
∴∠DAM=∠MBC（等角的余角相等），
在△ADC与△BMC中，

∠DAC=∠MBC AC=BC ∠ACD=∠BCM

，
∴△ADC≌△BMC（ASA），
∴AD=BM；

（2）∵由（1）知，△ADC≌△BMC，
∴∠DAC=∠MBC，CD=CM．
∴在直角△CDM中，∠CDM=∠CMD=45°．
∵∠DMB=105°，
∴∠CMB=60°，
∴∠DAC=∠MBC=30°．
设CD=CM=a．
∴AD=2CD=2a，AC=BC=

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a，
∴AM=

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a-a，
∴AD+AM=2a+

3

a-a=a+

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a=CD=BC=BD，即AD+AM=BD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．