Question

（10分）如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．

求证：（1）∠EDC＝∠ECD

（2）OC＝OD

（3）OE是线段CD的垂直平分线

Answer 1

见解析

【解析】

试题分析：（1）根据角平分线的性质可得DE=EC，然后根据等边对等角可得∠EDC＝∠ECD；（2）根据互余的性质证明∠ODC＝∠OCD即可，也可以证明Rt△ODE≌Rt△OCE；（3）由OC＝OD得点O在线段CD的垂直平分线，由DE=EC，得点E在线段CD的垂直平分线，所以OE是线段CD的垂直平分线.

试题解析：（1）因为点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，所以DE=EC，所以∠EDC＝∠ECD；（2）因为∠EDC＝∠ECD，∠EDO＝∠ECO=900,所以∠ODC＝∠OCD，所以OC＝OD；（3）因为OC＝OD，所以点O在线段CD的垂直平分线，因为DE=EC，所以点E在线段CD的垂直平分线，所以OE是线段CD的垂直平分线.

考点：1.角平分线的性质;2.直角三角形的性质;3.等腰三角形；4. 线段垂直平分线的判定.