Question

（本题满分10分）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．

（1）求证：BE = DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

Answer 1

（1）见解析（5分）（2）菱形 证明：见解析（5分）

【解析】

试题分析：（1）根据条件证△ABE≌△ADF即可；（2）因为OA=OM，所以证明EF、AM互相垂直平分，从而可判定四边形AEMF是菱形．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AD=AB，AF=AE，∴Rt△ADF≌Rt△ABE（HL）∴BE=DF；（2）【解析】
四边形AEMF是菱形，理由为：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA=∠DCA=45°，BC=DC，∵BE=DF，∴BC-BE=DC-DF，即CE=CF，在△COE和△COF中CE=CF，∠ACB=∠ACD， OC=OC∴△COE≌△COF（SAS），∴OE=OF，又OM=OA，∴四边形AEMF是平行四边形，∵AE=AF，∴平行四边形AEMF是菱形．

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3. 菱形的判定.