Question

【题目】如图1，直线AB与x、y轴分别相交于点B、A，点C为x轴上一点，以AB、BC为边作平行四边形ABCD，连接BD，BD＝BC，将△AOB沿x轴从左向右以每秒一个单位的速度运动，当点O和点C重合时运动停止，设△AOB与△BCD重合部分的面积为S，运动时间为t秒，S与t之间的函数如图（2）所示（其中0＜t≤2，2＜t≤m，m＜t＜n时函数解析式不同）．

（1）点B的坐标为　 　，点D的坐标为　 　；

（2）求S与t的函数解析式，并写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）当0＜t≤2时，S＝，当2＜t≤5时，S＝，当5＜t＜7时，S＝t2﹣14t+49．

【解析】

（1）由图象可得当t＝2时，点O与点B重合，当t＝m时，△AOB在△BDC内部，可求点B坐标，过点D作DH⊥BC，可证四边形AOHD是矩形，可得AO＝DH，AD＝OH，由勾股定理可求BD的长，即可得点D坐标；

（2）分三种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．

解：（1）由图象可得当t＝2时，点O与点B重合，

∴OB＝1×2＝2，

∴点B（2，0），

如图1，过点D作DH⊥BC，

由图象可得当t＝m时，△AOB在△BDC内部，

∴4＝×2×DH，

∴DH＝4，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD∥BC，且DH⊥BC，

∴∠ADH＝∠DHO＝90°，且∠AOB＝90°，

∴四边形AOHD是矩形，

∴AO＝DH，AD＝OH，且AD＝BC＝BD，

∴OH＝BD，

∵DB2＝DH2+BH2，

∴DB2＝（DB﹣2）2+16，

∴DB＝5，

∴AD＝BC＝OH＝5，

∴点D（5，4），

故答案为：（2，0），（5，4）；

（2）∵OH＝BD＝BC＝5，OB＝2，

∴m＝，n＝＝7，

当0＜t≤2时，如图2，

∵S△BCD＝BC×DH，

∴S△BCD＝10

∵A'B'∥CD，

∴△BB'E∽△BCD，

∴＝（）＝，

∴S＝10×＝t2，

当2＜t≤5，如图3，

∵OO'＝t，

∴BO'＝t﹣2，FO'＝（t﹣2），

∵S＝S△BB'E﹣S△BO'F＝t2﹣×（t﹣2）2，

∴S＝﹣t2+t﹣；

当5＜t＜7时，如图4，

∵OO'＝t，

∴O'C＝7﹣t，O'N＝2（7﹣t），

∵S＝×O'C×O'N＝×2（7﹣t）2，

∴S＝t2﹣14t+49．