Question

【题目】如图，已知四边形ABCD是矩形，点E，G分别是AD，BC边的中点，连接BE，CE，点F，H分别是BE，CE的中点连接FG，HG．

（1）求证：四边形EFGH是菱形；

（2）当＝　 　时，四边形EFGH是正方形．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）先连接EG，根据四边形ABGE、四边形GCDE都是矩形，得出EF＝FG，EH＝GH，再根据四边形EFGH是平行四边形，得出FG＝EH，最后得到EF＝FG＝GH＝EH，即可得出结论；

（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形进行判断即可．

解：（1）连接EG，

∵矩形ABCD中，AD＝BC，E，G分别是AD，BC的中点，

∴AE＝BG，

又∵AE∥BG，∠A＝90°，

∴四边形ABGE是矩形，

∴∠BGE＝90°，

∵F是BE的中点，

∴Rt△BEG中，EF＝BE＝GF，①

同理可得，EH＝CE＝GH，②

∵EG⊥BC，BG＝GC，

∴BE＝EC，

∴EF＝EH，

∴EF＝FG＝GH＝HE，

∴四边形EFGH是菱形；

（2）当AB边和AD边之间满足条件：AD＝2AB时，四边形EFGH是正方形．

理由：当AB边和AD边之间满足AD＝2AB时，四边形ABGE与四边形EGCD都是正方形，

故∠FGE＝∠EGH＝45°，

∴∠FGH＝90°，

∴菱形EFGH是正方形．

故答案为：．