【题目】(题文)如图,在矩形ABCD中,点E是AD上的一个动点,连接BE,作点A关于BE的对称点F,且点F落在矩形ABCD的内部,连结AF,BF,EF,过点F作GF⊥AF交AD于点G,设 =n.
(1)求证:AE=GE;
(2)当点F落在AC上时,用含n的代数式表示的值;
(3)若AD=4AB,且以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形,求n的值.
【答案】(1)见解析;(2);(3)n=16或 8+4.
【解析】试题(1)因为GF⊥AF,由对称易得AE=EF,则由直角三角形的两个锐角的和为90度,且等边对等角,即可证明E是AG的中点;(2)可设AE=a,则AD=na,即需要用n或a表示出AB,由BE⊥AF和∠BAE==∠D=90°,可证明△ABE~△DAC , 则,因为AB=DC,且DA,AE已知表示出来了,所以可求出AB,即可解答;(3)求以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形时的n,需要分类讨论,一般分三个,∠FCG=90°,∠CFG=90°,∠CGF=90°;根据点F在矩形ABCD的内部就可排除∠FCG=90°,所以就以∠CFG=90°和∠CGF=90°进行分析解答.
试题解析:(1)证明:由对称得AE=FE,∴∠EAF=∠EFA,∵GF⊥AE,∴∠EAF+∠FGA=∠EFA+∠EFG=90°,∴∠FGA=∠EFG,∴EG=EF,∴AE=EG.
(2)解:设AE=a,则AD=na,当点F落在AC上时(如图1),由对称得BE⊥AF,∴∠ABE+∠BAC=90°,∵∠DAC+∠BAC=90°,∴∠ABE=∠DAC,又∵∠BAE=∠D=90°,∴△ABE~△DAC ,∴
∵AB=DC,∴AB2=AD·AE=na·a=na2,∵AB>0,∴AB=,∴= =,∴=.
(3)解:设AE=a,则AD=na,由AD=4AB,则AB=.
当点F落在线段BC上时(如图2),EF=AE=AB=a,此时,∴n=4,∴当点F落在矩形外部时,n>4.
∵点F落在矩形的内部,点G在AD上,∴∠FCG<∠BCD,∴∠FCG<90°,若∠CFG=90°,则点F落在AC上,由(2)得=,∴n=16.
若∠CGF=90°(如图3),则∠CGD+∠AGF=90°,∵∠FAG+∠AGF=90°,∴∠CGD=∠FAG=∠ABE,∵∠BAE=∠D=90°,∴△ABE~△DGC,∴ ,∴AB·DC=DG·AE,即.
解得 n=或n=<4(不合题意,舍去),∴当n=16或 时,以点F,C,G为顶点的三角形是直角三角形.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线l:y=(x﹣h)2﹣4(h为常数)
(1)如图1,当抛物线l恰好经过点P(1,﹣4)时,l与x轴从左到右的交点为A、B,与y轴交于点C.
①求l的解析式,并写出l的对称轴及顶点坐标.
②在l上是否存在点D,使S△ABD=S△ABC , 若存在,请求出D点坐标,若不存在,请说明理由.
③点M是l上任意一点,过点M做ME垂直y轴于点E,交直线BC于点D,过点D作x轴的垂线,垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时,求出点M的坐标.
(2)设l与双曲线y=有个交点横坐标为x0,且满足3≤x0≤5,通过l位置随h变化的过程,直接写出h的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图①,菱形ABCD中,AB=5cm,动点P从点B出发,沿折线BC﹣CD﹣DA运动到点A停止,动点Q从点A出发,沿线段AB运动到点B停止,它们运动的速度相同,设点P出发xs时,△BPQ的面积为ycm2 , 已知y与x之间的函数关系如图②所示,其中OM,MN为线段,曲线NK为抛物线的一部分,请根据图中的信息,解答下列问题:
(1)当1<x<2时,△BPQ的面积________(填“变”或“不变”);
(2)分别求出线段OM,曲线NK所对应的函数表达式;
(3)当x为何值时,△BPQ的面积是5cm2?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】三名大学生竞选系学生会主席,他们的笔试成绩和口试成绩(单位:分)分别用了两种方式进行了统计,如表一和图一:
(1)请将表一和图一中的空缺部分补充完整.
(2)竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票,三位候选人的得票情况如图二(没有弃权票,每名学生只能推荐一个),请计算每人的得票数.
(3)若每票计1分,系里将笔试、口试、得票三项测试得分按的比例确定个人成绩,请计算三位候选人的最后成绩,并根据成绩判断谁能当选.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(2017浙江省嘉兴市,第20题,8分)如图,一次函数()与反比例函数()的图象交于点A(﹣1,2),B(m,﹣1).
(1)求这两个函数的表达式;
(2)在x轴上是否存在点P(n,0)(n>0),使△ABP为等腰三角形?若存在,求n的值;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,某日的钱塘江观潮信息如表:
按上述信息,小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离(千米)与时间(分钟)的函数关系用图3表示,其中:“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点,点坐标为,曲线可用二次函数(,是常数)刻画.
(1)求的值,并求出潮头从甲地到乙地的速度;
(2)11:59时,小红骑单车从乙地出发,沿江边公路以千米/分的速度往甲地方向去看潮,问她几分钟后与潮头相遇?
(3)相遇后,小红立即调转车头,沿江边公路按潮头速度与潮头并行,但潮头过乙地后均匀加速,而单车最高速度为千米/分,小红逐渐落后,问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间?(潮水加速阶段速度,是加速前的速度).
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知等边△ABC,请用直尺(不带刻度)和圆规,按下列要求作图(不要求写作法,但要保留作图痕迹):
(1)作△ABC的外心O;
(2)设D是AB边上一点,在图中作出一个正六边形DEFGHI,使点F,点H分别在边BC和AC上.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】用黑白两种颜色的正方形纸片,按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一系列图案,请仔细观察,并回答下列问题:
(1)第4个图案中有白色纸片多少张?
(2)第n个图案中有白色纸片多少张?
(3)第几个图案有白色纸片有2011张?(写出必要的步骤)
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com