Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．

（1）求直线AD及抛物线的解析式；

（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？

（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）当m＝-时，PQ最长，最大值为；（3）R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）．

【解析】

（1)根据待定系数法，可得抛物线的解析式；根据自变量与函数值的对应关系，可得D点坐标，再根据待定系数法，可得直线的解析式；

(2)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；

(3)根据PQ的长是正整数，可得PQ，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可得DR的长，根据点的坐标表示方法，可得答案

解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：

解得：

∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3，

当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣4﹣3＝﹣3，

∴D（﹣2，﹣3），

设直线AD的解析式为y＝kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入得：

解得：

∴直线AD的解析式为y＝x﹣1；

因此直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3．

（2）∵点P在直线AD上，Q抛物线上，P（m，n），

∴n＝m﹣1 Q（m，m2+2m﹣3）

∴PQ的长l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）

∴当m＝ 时，PQ的长l最大＝﹣（ ）2﹣（）+2＝ ．

答：线段PQ的长度l与m的关系式为：l＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）

当m＝时，PQ最长，最大值为．

（3）①若PQ为平行四边形的一边，则R一定在直线x＝﹣2上，如图：

∵PQ的长为0＜PQ≤的整数，

∴PQ＝1或PQ＝2，

当PQ＝1时，则DR＝1，此时，在点D上方有R1（﹣2，﹣2），在点D下方有R2（﹣2，﹣4）；

当PQ＝2时，则DR＝2，此时，在点D上方有R3（﹣2，﹣1），在点D下方有R4（﹣2，﹣5）；

②若PQ为平行四边形的一条对角线，则PQ与DR互相平分，此时R与点C重合，即R5（0，﹣3）

综上所述，符合条件的点R有：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）．

答：符合条件的点R共有5个，即：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）．