Question

关于x的方程x²-（2k+1）x+k²=0，
（1）如果方程有实数根，求k的取值范围．
（2）设x₁，x₂是方程的两根，且

1

x1

+

1

x2

=

1

k-1

 ，求k的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据方程x²-（2k+1）x+k²=0有实数根，得出△≥0，据此进行计算即可；
（2）根据x₁，x₂是方程的两根，得出x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²，再把式子

1

x1

+

1

x2

整理成

x1+x2

x1x2

，求出k的值即可．

解答：解：（1）∵方程x²-（2k+1）x+k²=0有实数根，
∴△≥0，
∴[-（2k+1）]²-4×1×k²≥0，
整理得：4k≥-1，
解得k≥-

1

4

．
则实数k的取值范围为k≥-

1

4

．

（2）∵x₁，x₂是方程的两根，
∴x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

2k+1

k2

=

1

k-1

，
解得：k=

1± 5

2

，
经检验k=

1± 5

2

是原方程的解，
则k的值是

1± 5

2

．

点评：本题考查了根的判别式和根与系数的关系，掌握好一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．