Question

【题目】如图，正方形ABCD中点E为AD的中点，连接CE，将△CDE绕点C逆时针旋转得△CGF，点G在CE上，作DM⊥CE于点M，连接BM交CF于N，已知四边形GFNM面积为27，则正方形ABCD的边长为_________．

Answer 1

【答案】10

【解析】

作BH⊥EC于H，可证△BCH≌△DMC，可得DM=CH，根据锐角三角函数可得CM=2DM，则H是CM中点，可得∠BMC=∠BCM，再证△MNC∽△FGC，根据面积比等于相似比的平方，可求正方形ABCD的边长

作BH⊥EC于H

设BC=CD=AD=2a，

∵E为AD中点，

∴DE=a，

∴S△DEC=a2．

根据勾股定理得EC=a，

∵∠HBC+∠HCB=90°，∠ECD+∠HCB=90°，

∴∠ECD=∠HBC，且CD=BC，∠BHC=∠DMC=90°，

∴△DMC≌△BHC，

∴CH=MD，BH=CM，

∵sin∠DCE=，

∴，

∴DM=a，

∴CM==a，

∴CH=a，

∴MH=CH，且BH⊥CM，

∴BM=BC，

∴∠BMC=∠BCM，

∵AD∥BC，

∴∠DEC=∠ECB，

∵旋转

∴∠F=∠DEC，CF=CE=a

∴∠F=∠BMC，∠MCF=∠MCF

∴△MNC∽△GFC

∴，

，

∴S△MNC=，

∴SFGMN=a2﹣=，

∴=27，

∴a=5，

∴2a=10，

故答案为：10