Question

（1）若a、b、c、d是互不相等的整数，且整数x满足等式（x-a）（x-b）（x-c）（x-d）-9=0，求证：4|（a+b+c+d）．
（2）已知两个三位数

.

abc

与

.

def

的和

.

abc

+

.

def

能被37整除，证明：六位数

.

abcdef

也能被37整除．

Answer 1

分析：（1）x-a，x-b，x-c，x-d是互不相等的整数，且它们的乘积等于9，于是必须把9分解为4个互不相等的因数的积；
（2）因已知条件的数是三位数，故应设法把六位数

.

abcdef

用三位数的形式表示，以沟通已知与求证结论的联系．

解答：证明：（1）∵9=1×（-1）×3×（-3），
∴可设x-a=1，x-b=-1，x-c=3，x-d=-3，
∴a=x-1，b=x+1，c=x-3，d=x+3，
∴a+b+c+d=4x，
即4|（a+b+c+d）；

（2）∵

.

abcdef

=

.

abc

×1000+

.

def

=

.

abc

×999+（

.

abc

+

.

def

）
又∵

.

abc

和（

.

abc

+

.

def

）能被37整除，
∴

.

abc

×999+（

.

abc

+

.

def

）能被37整除，即六位数

.

abcdef

能被37整除．

点评：本题考查的是数的整除性，解答此类问题的关键是熟知整除的性质．