Question

14．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其 中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）当t=2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．

Answer 1

分析 （1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）由题意得出BQ=BP，即2t=8-t，解方程即可；
（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；
②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t；
③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．

解答 （1）解：（1）BQ=2×2=4cm，
BP=AB-AP=8-2×1=6cm，
∵∠B=90°，
PQ=$\sqrt{B{Q}^{2}+B{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$（cm）；
（2）解：根据题意得：BQ=BP，
即2t=8-t，
解得：t=$\frac{8}{3}$；
即出发时间为$\frac{8}{3}$秒时，△PQB是等腰三角形；
（3）解：分三种情况：
①当CQ=BQ时，如图1所示：
则∠C=∠CBQ，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°，
∠A+∠C=90°，
∴∠A=∠ABQ
∴BQ=AQ，
∴CQ=AQ=5
∴BC+CQ=11，
∴t=11÷2=5.5秒．
②当CQ=BC时，如图2所示：
则BC+CQ=12
∴t=12÷2=6秒．
③当BC=BQ时，如图3所示：
过B点作BE⊥AC于点E，
则BE=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8（cm）
∴CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm，
∴BC+CQ=13.2cm，
∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，
△BCQ为等腰三角形．

点评 本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．