Question

如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA=PB，延长BO分别与⊙O切线PA相交于点C、Q两点．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．

Answer 1

（1）证明：连结OA，如图，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
在△POA和△POB中
，
∴△POA≌△POB（SSS），
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；

（2）AB与OP交于H，连结DH，如图，
在Rt△OCA中，OQ=OC+CQ=3+2=5，OA=3，则AQ==4，
设PA=x，则PB=x，PQ=4+x，
在Rt△PBQ中，∵BQ²+BP²=PQ²，
∴8²+x²=（x+4）²，解得x=6，
∴PA=PB=6，
∵PA与PB为⊙O的切线，
∴OP平分∠BPA，
∴OP垂直平分AB，即点H为AB的中点，
∵D为PB的中点，
∴DH为△BAP的中位线，
∴DH=PA=3，DH∥PA，
∵DH∥AQ，
∴△DHE∽△QEA，
∴==，
设AE=4t，HE=3t，则AH=AE+HE=7t，
∴BE=BH+HE=AH+HE=7t+3t=10t，
∴==．
分析：（1）根据切线的性质由PA是⊙O的切线得到∠OAP=90°，再利用“SSS”判断△POA≌△POB，则∠OBP=∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）先用勾股定理计算出AQ=4，再计算出AP=6，利用切线长定理可得到H点为AB的中点，易得DH为△BAP的中位线，则DH=PA=3，DH∥PA，利用DH∥AQ得到△DHE∽△QEA，所以==，设AE=4t，HE=3t，则AH=AE+HE=7t，于是BE=BH+HE=AH+HE=10t，最后计算．
点评：本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．