Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D．

求证：（1）∠AOC=2∠ACD；（2）AC2＝AB·AD．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）根据CD为切线得出∠ACD+∠ACO=90°，根据OC=OA得出∠ACO=∠CAO，即∠AOC+∠ACO=90°，将两式联立得出答案；（2）连接BC，根据AB为直径得出∠ACB=90°，结合∠AOC=2∠B得出∠B=∠ACD，从而得到△ACD∽△ABC，得出答案．

试题解析：（1）∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°， 即∠ACD+∠ACO=90°．…①

∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO， ∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+∠ACO=90°．…②

由①，②，得：∠ACD-∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；

（2）如图，连接BC．

∵AB是直径，∴∠ACB=90° 在Rt△ACD与△RtABC中，∵∠AOC=2∠B，

∴∠B=∠ACD， ∴△ACD∽△ABC， ∴=AB·AD