Question

【题目】如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD；∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H．

（1）求证：CF=CH；

（2）如图2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）证明见试题解析；（2）四边形ACDM是菱形．

【解析】

试题分析：（1）由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，故有△BCF≌△ECH，得出CF=CH；

（2）由△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°，推出四边形ACDM是平行四边形，由AC=CD判断出四边形ACDM是菱形．

试题解析：（1）∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°．在△BCF和△ECH中，∵∠B=∠E，BC=EC，∠BCE=∠ECH，∴△BCF≌△ECH（ASA），∴CF=CH（全等三角形的对应边相等）；

（2）四边形ACDM是菱形．证明如下：

∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，∴∠1=∠2=45°．∵∠E=45°，∴∠1=∠E，∴AC∥DE，∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，又∵∠A=∠D=45°，∴四边形ACDM是平行四边形（两组对角相等的四边形是平行四边形），∵AC=CD，∴四边形ACDM是菱形．