Question

6．已知A、B、C、D四个点依次在⊙O上，$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，连接AB、BD、DC．
（1）如图1，求证：AB∥CD；
（2）如图2，点E在射线AB上，点F在弦BD上，连接BC、EF、CF、CE，若EF=CF，BD平分∠ABC，求证：∠CEF=∠BDC；
（3）如图3，在（2）的条件下，当点E在AB延长线上时，若DF=5BF，tan∠BDC=$\frac{4}{3}$，CE=5，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）根据弧相等，则圆周角相等得：∠B=∠C，则AB∥CD；
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明Rt△EGF≌Rt△CHF（HL），得∠AEF=∠BCF，再根据一个外角等于内对角时，四点共圆，得E、F、C、B四点共圆，所以得同弧所对的圆周角相等，则∠CEF=∠CBD，由平行线性质和角平分线得出结论；
（3）如图3，作辅助线，根据同角的三角函数设FH=4x，EH=3x，则EF=5x，根据EC=6x=5列式可得x的值，计算FC的值，作直径NC，和弦心距OP和OQ，由弦相等，则弦心距相等得：OP=OQ，再根据角平分线的逆定理得：OC平分∠BCD，由等腰三角形三线合一得：CM⊥BD，再根据三角函数设CM=4a，DM=3a，利用勾股定理列方程可得a的值，从而计算直径的长．

解答 证明：（1）∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BC}$，
∴∠B=∠C，
∴AB∥CD；
（2）过F作FG⊥AB于G，过F作FH⊥BC于H，
则∠EGF=∠FHC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴FG=FH，∠ABD=∠CBD，
∵EF=FC，
∴Rt△EGF≌Rt△CHF（HL），
∴∠AEF=∠BCF，
∴E、F、C、B四点共圆，
∴∠CEF=∠CBD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠CEF=∠BDC；
（3）如图3，过F作FH⊥CE于H，
由（2）得：∠CEF=∠BDC，
tan∠CEF=tan∠BDC=$\frac{FH}{EH}=\frac{4}{3}$，
设FH=4x，EH=3x，则EF=5x，
∵EF=FC，
∴EH=HC=3x，
∴EC=6x=5，
x=$\frac{5}{6}$，
∴EF=FC=5×$\frac{5}{6}$=$\frac{25}{6}$，
作直径NC，交⊙O于N，过O作OP⊥BC于P，作OQ⊥CD于Q，连接BN，
∴∠CBN=90°，
∵BC=DC，
∴OP=OQ，
∴OC平分∠BCD，
∴CM⊥BD，
在Rt△CDM中，tan∠BDC=$\frac{4}{3}$，
设CM=4a，DM=3a，则BM=DM=3a，DC=5a，
∴BC=DC=5a
∵BF=5DF，
∴FM=2a，
在Rt△CMF中，$（2a）^{2}+（4a）^{2}=（\frac{25}{6}）^{2}$，
a=$\frac{5\sqrt{5}}{12}$，
∵∠CNB=∠BDC，
∴tan∠CNB=$\frac{BC}{BN}=\frac{4}{3}$，
∴$\frac{5a}{BN}=\frac{4}{3}$，
∴BN=$\frac{15}{4}$a，
由勾股定理得：CN=$\sqrt{（5a）^{2}+（\frac{15a}{4}）^{2}}$=$\frac{25a}{4}$，
∴CN=$\frac{25}{4}$×$\frac{5\sqrt{5}}{12}$=$\frac{125\sqrt{5}}{48}$，
则⊙O的直径是$\frac{125\sqrt{5}}{48}$．

点评 本题是圆的综合题，有难度，考查了圆周角、弧、弦及弦心距的关系、勾股定理、三角函数、角平分线的性质及判定，熟练掌握角平分线性质及判定是本题的关键，第二问根据角平分线作辅助线，构建全等三角形，使问题得以解决．